Question

已知拋物線C的頂點為坐標原點，橢圓C′的對稱軸是坐標軸，拋物線C在x軸上的焦點恰好是橢圓C′的焦點
（Ⅰ）若拋物線C和橢圓C′都經(jīng)過點M（1，2），求拋物線C和橢圓C′的方程；
（Ⅱ）已知動直線l過點p（3，0），交拋物線C于A，B兩點，直線l′：x=2被以AP為直徑的圓截得的弦長為定值，求拋物線C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，分別過A，B的拋物線C的兩條切線的交點E的軌跡為D，直線AB與軌跡D交于點F，求|EF|的最小值．

Answer 1

分析：（I）通過待定系數(shù)法求拋物線的方程；再求出其焦點，求出橢圓的焦點；利用橢圓的定義求出橢圓方程．
（II）設(shè)出點A的坐標，求出以AP為直徑的圓的半徑，求出圓心到直線的距離；利用圓心到直線的距離、半徑、弦長的一半構(gòu)成直角三角形得到勾股定理，表示出弦長；據(jù)弦長是定值，令未知數(shù)的系數(shù)為0，求出拋物線方程．
（III）求出兩條切線的方程及直線AB的方程，表示出EF的長度，求出值．

解答：解：（I）設(shè)拋物線C的方程為：y²=2px，
拋物線C經(jīng)過點M（1，2）則2²=2p×1
∴拋物線C的方程為：y²=4x其焦點為F₂（1，0）
故可設(shè)橢圓C′的焦點為F₁（1，0）和F₂（1，0），
2a=|MF₁|+|MF₃|=2

2

+2
∴b²=（

2

+1）²-1²=2+2

2

∴橢圓C′的方程為：

x2

3+2 2

+

y2

2+2 2

=1（3分）
（II）設(shè)A（2pt²，2pt）則AP的中點Q（pt²+

3

2

，pt），
以AP為直徑的圓的半徑為r
r²=（pt²-

3

2

）²+（pt）²，
設(shè)Q（pt²+

3

2

，pt）到直線l′：x=2的距離為d
則d=|pt²+

3

2

-2|=|pt²-

1

2

|
設(shè)直線l′：x=2被以AP為直徑的圓截得的弦為MN，則：
(

|MN|

2

)2=r²-d²=（pt²-

3

2

）²+（pt）²-（pt²-

1

2

）²=（p²-2p）t²+2
由于|MN|為定值，所以p²-2p=0所以p=2
∴拋物線C的方程為：y²=4x（8分）
（III）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
利用導數(shù)法或判別式法可求得AE，BE的方程分別為
AE：y1y=2（x₁+x），BE：y₂y=2（x₂+x）若E（x₀，y₀）則
y₁y₀=2（x₁+x₀），y₂y₀=2（x₂+x₀）故AB：y₀y=2（x₀+x）
又因為AB過點P（3，0），所以y₀×0=2（x₀+3）所以x₀=-3
即E的軌跡為D的方程為x=-3，交AB：y₀y=2（x₀+x）于點F（-3，-

12

y0

）
|EF|=|y₀-（-

12

y0

）|=|y₀+

12

y0

|≥2

y0• 12 y0

=4

3

；
當且僅當y₀=

12

y0

即y₀=±2

3

時取等號；
所以|EF|的最小值為4

3

．（13分）

點評：本題考查待定系數(shù)法求軌跡方程、圓錐曲線的定義、解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系常用的處理方法是聯(lián)立方程研究方程組、考查曲線的切線的求法．