【題目】如圖,已知多面體中,平面,,三角形是等邊三角形,且,為的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)取的中點(diǎn),連接,證得四邊形為平行四邊形,再利用線面平行的判定定理證明即可;
(Ⅱ)(解法一在)平面內(nèi),過作于點(diǎn),連接,證得為和平面所成的角,再解平面三角形即可求出答案.
解法二:以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在的直線分別為軸、軸、軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量求出線面角.
(1)證明:取的中點(diǎn),連接,
為的中點(diǎn),
且,
,
,
又,
四邊形為平行四邊形,
則,
平面平面,
平面;
(Ⅱ)解法一:在平面內(nèi),過作于點(diǎn),連接,(圖象見第一問)
平面C平面,
,
,為的中點(diǎn),
,
又平面,平面,
平面,
由(Ⅰ)知平面,
又平面,平面平面,
平面平面平面,
平面,
為和平面所成的角,
設(shè),
則,
,
中,,
直線和平面所成角的正弦值為.
解法二:以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在的直線分別為軸、軸、軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
設(shè),則,
,
,
設(shè)為平面的法向量,
則,即,令,得,
又,
設(shè)和平面所成的角為,
則,
直線和平面所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中,,,平面ABCD,E為PD的中點(diǎn),.
(1)求四棱錐的體積V;
(2)若F為PC的中點(diǎn),求證:平面平面AEF;
(3)求二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】四棱錐的底面ABCD是邊長為a的菱形,面ABCD,,E,F分別是CD,PC的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面PAB;
(2)M是PB上的動(dòng)點(diǎn),EM與平面PAB所成的最大角為,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,給出下列命題:
①函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn);
②的解集為;
③,,都有;
④當(dāng)時(shí),,則.
其中真命題的個(gè)數(shù)是( )
A.1B.2C.3D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列滿足: , .為數(shù)列的前項(xiàng)和.
(Ⅰ)求證:對(duì)任意正整數(shù),有;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:對(duì)任意,總存在正整數(shù),使得時(shí), .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上,且點(diǎn)在第一象限,點(diǎn)為的中點(diǎn),.
(1)若,求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)的面積是否是常數(shù),若是,請(qǐng)求出;若不是,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某圓柱的高為2,底面周長為16,則其體積為_________,若該圓柱的三視圖如圖所示,圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱表面上的點(diǎn)N在側(cè)視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,則在此圓柱側(cè)面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長度為___________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中, , , , ,直線與平面成角, 為的中點(diǎn), , .
(Ⅰ)若,求證:平面平面;
(Ⅱ)若,求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.
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