Question

3．已知點(diǎn)M（x₀，y₀）在圓C：x²+y²=4上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N（4，0），點(diǎn)P（x，y）為線段MN的中點(diǎn)，
（Ⅰ）求點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程；
（Ⅱ）求點(diǎn)P（x，y）到直線3x+4y-26=0的距離的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）用x和y表示出M的坐標(biāo)代入圓的方程即可求得P的軌跡方程．
（Ⅱ）利用點(diǎn)到直線的距離求得圓心到直線的距離，進(jìn)而利用圓心到直線的距離加或減半徑即可求得最大和最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵點(diǎn)P（x，y）是MN的中點(diǎn)，
∴x₀=2x-4，y₀=2y，
將用x，y表示的x₀，y₀代入到x₀²+y₀²=4中得（x-2）²+y²=1．
此式即為所求軌跡方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知點(diǎn)P的軌跡是以Q（2，0）為圓心，以1為半徑的圓．
點(diǎn)Q到直線3x+4y-26=0的距離d=$\frac{|6-26|}{\sqrt{9+16}}$=4．
故點(diǎn)P到直線3x+4y-26=0的距離的最大值為4+1=5，最小值為4-1=3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓的方程的應(yīng)用．解決直線與圓的方程問題，一般是看圓心到直線的距離，利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決．