Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=xex﹣ae2x（a∈R）
（I）當(dāng)a≥ 時(shí)，求證：f（x）≤0．
（II）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（ I）證明：f（x）=xex﹣ae2x=ex（x﹣aex）
∵ex＞0，只需證：當(dāng) 即可，
g（x）=x﹣aex ， g'（x）=1﹣aex=0
∴ ，
∴ ，

∴當(dāng) 從而當(dāng) 時(shí)，f（x）≤0
（ II）f'（x）=（x+1）ex﹣2ae2x=ex（x+1﹣2aex）
函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于y=f'（x）有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)
即方程 有兩個(gè)不相同的根
設(shè) ， ，x∈（﹣∞，0），h'（x）＞0，h（x）遞增；x∈（0，+∞），h'（x）＜0，h（x）遞減，
h（x）max=h（0）=1，h（﹣1）=0，
x＞﹣1，h（x）＞0，x→+∞，h（x）→0，x→﹣∞，h（x）→﹣∞
當(dāng) 有兩個(gè)交點(diǎn)
方程 有兩個(gè)不相同的根，函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)
【解析】（Ⅰ）利用分析法，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x﹣aex ， 利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系即可求出，（Ⅱ）函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于y=f'（x）有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，即方程 有兩個(gè)不相同的根，構(gòu)造函數(shù) ，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，問題得以解決．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)，還要掌握函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．