【題目】設(shè)是虛數(shù),是實數(shù),且.
(1)求的值以及的實部的取值范圍;
(2)若,求證為純虛數(shù);
(3)在(2)的條件下,求的最小值.
【答案】(1), ;(2)證明見解析;(3)1.
【解析】
(1)設(shè)出復(fù)數(shù),寫出的表示式,進行復(fù)數(shù)的運算,把整理成最簡形式,再根據(jù)所給的范圍,得到的虛部為0,實部屬于這個范圍,得到的實部的范圍;
(2)根據(jù)設(shè)出的,整理的代數(shù)形式,進行復(fù)數(shù)的除法的運算,整理成最簡形式,根據(jù)上一問做出的復(fù)數(shù)的模長為1,得到是一個純虛數(shù);
(3),再利用基本不等式即可求得結(jié)果
解:(1)由是虛數(shù),設(shè),則
,
因為為實數(shù),所以且,所以
所以,
此時,
因為,所以,得
(2)因為,且,
所以,
因為,,所以為純虛數(shù)
(3),
由,得,
故當(dāng)且僅當(dāng),即時,有最小值1
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ln (x+1)- -x,a∈R.
(1)當(dāng)a>0時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若存在x>0,使f(x)+x+1<- (a∈Z)成立,求a的最小值.
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【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求和的直角坐標(biāo)方程;
(2)若曲線截直線所得線段的中點坐標(biāo)為,求的斜率.
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【題目】已知橢圓的左右焦點分別為,上頂點為,若直線的斜率為1,且與橢圓的另一個交點為, 的周長為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點的直線(直線的斜率不為1)與橢圓交于兩點,點在點的上方,若,求直線的斜率.
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【題目】如圖所示,在邊長為8的正三角形ABC中,E,F依次是AB,AC的中點,,D,H,G為垂足,若將繞AD旋轉(zhuǎn),求陰影部分形成的幾何體的表面積與體積.
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【題目】我們國家正處于老齡化社會中,老有所依也是政府的民生工程.某市共有戶籍人口400萬,其中老人(年齡60歲及以上)人數(shù)約有66萬,為了了解老人們的健康狀況,政府從老人中隨機抽取600人并委托醫(yī)療機構(gòu)免費為他們進行健康評估,健康狀況共分為不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個等級,并以80歲為界限分成兩個群體進行統(tǒng)計,樣本分布被制作成如下圖表:
(1)若采用分層抽樣的方法再從樣本中的不能自理的老人中抽取8人進一步了解他們的生活狀況,則兩個群體中各應(yīng)抽取多少人?
(2)估算該市80歲及以上長者占全市戶籍人口的百分比;
(3)據(jù)統(tǒng)計該市大約有五分之一的戶籍老人無固定收入,政府計劃為這部分老人每月發(fā)放生活補貼,標(biāo)準(zhǔn)如下:
①80歲及以上長者每人每月發(fā)放生活補貼200元;
②80歲以下老人每人每月發(fā)放生活補貼120元;
③不能自理的老人每人每月額外發(fā)放生活補貼100元.
利用樣本估計總體,試估計政府執(zhí)行此計劃的年度預(yù)算.(單位:億元,結(jié)果保留兩位小數(shù))
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【題目】下列關(guān)于向量的描述正確的是( )
A.若向量,都是單位向量,則
B.若向量,都是單位向量,則
C.任何非零向量都有唯一的與之共線的單位向量
D.平面內(nèi)起點相同的所有單位向量的終點共圓
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【題目】設(shè)函數(shù) .若曲線在點處的切線方程為(為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若關(guān)于的不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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