Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立．

（1）求證：存在實(shí)數(shù)使得數(shù)列為等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）

【解析】

試題分析：（1）證明等比數(shù)列，基本方法為等比數(shù)列定義，先利用和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得，再變形得，可證數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，因此（2）由（1）得，，因此數(shù)列的前項(xiàng)和，先分成兩組，一組為等差數(shù)列求和，另一組需利用錯(cuò)位相減法求和：注意項(xiàng)的符號(hào)變化、項(xiàng)的個(gè)數(shù)、最后結(jié)果形式，最好代入驗(yàn)證所求結(jié)果．

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，可得，

由得，

兩式相減，得，即，．

可得，而，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，

所以存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列

（2）由（1）得，

即，

所以，

令，

則，

兩式相減得，

所以．