Question

（本小題滿分13分）
已知橢圓 .與有相同的離心率,過(guò)點(diǎn)的直線與,依次交于A,C,D,B四點(diǎn)(如圖).當(dāng)直線過(guò)的上頂點(diǎn)時(shí), 直線的傾斜角為.

（1）求橢圓的方程;
（2）求證:;
（3）若,求直線的方程.

Answer 1

解:(1) .(2)見(jiàn)解析；(3)

本試題主要是考查了橢圓方程的求解，以及利用直線與橢圓的位置關(guān)系求解直線的方程，證明線段相等的綜合運(yùn)用。
（1）利用橢圓的幾何性質(zhì)表示得到a,b,c的關(guān)系式，從而得到橢圓的方程。
（2）設(shè)直線與橢圓方程聯(lián)系，借助于坐標(biāo)的關(guān)系來(lái)證明相等即可。
（3）在第二問(wèn)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步得到關(guān)于直線斜率k的表達(dá)式，化簡(jiǎn)得到直線的方程，
解:(1),因此橢圓的方程為.
(2)當(dāng)直線垂直軸時(shí),易求得
因此,
當(dāng)直線不垂直軸時(shí),設(shè)
由     ①,
由    ②,
設(shè),則是方程①的解, 是方程②的解.,線段AB,CD的中點(diǎn)重合,
(3).由(2)知,,當(dāng)直線垂直軸時(shí),不合要求;
當(dāng)直線不垂直軸時(shí),設(shè),由(2)知,
,,


,化簡(jiǎn)可得:
  ,