精英家教網設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點為F1（?2，0），左準線l1與x軸交于N（?3，0），過點N 作傾斜角為30°的直線l 交橢圓于兩個不同的點A，B．
（Ⅰ）求直線l 及橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證：點F1在以線段AB為直徑的圓上．
分析：（Ⅰ）由題意
c=2
a2
c
=3
a2=b2+c2
，能夠導出橢圓C的方程和直線l的方程．
（Ⅱ）橢圓C的方程即為x2+3y2-6=0，由
y=
3
3
(x+3)
x2+3y2-6=0
得2x2+6x+3=0．再由韋達定理能夠導出點F1在以線段AB為直徑的圓上．
解答：解：（Ⅰ）由題意，
c=2
a2
c
=3
a2=b2+c2
∴
a=
6
b=
2
.

則橢圓C的方程為
x2
6
+
y2
2
=1．
直線l的方程為y=
3
3
(x+3)．
（Ⅱ）橢圓C的方程即為x2+3y2-6=0，
由
y=
3
3
(x+3)
x2+3y2-6=0
得2x2+6x+3=0．
設A（x1，y1），B（x2，y2），
則
x1+x2=-3
x1x2=
3
2
.

∵
F1A
=(x1+2，y1)，
F1B
=(x2+2，y2)，
∴
F1A
•
F1B
=（x1+2）•（x2+2）+y1y2．
∵y1=
3
3
(x1+3)，y2=
3
3
(x2+3)，
∴
F1A
•
F1B
=(x1+2)•(x2+2)+
1
3
(x1+3)•(x2+3)
=
1
3
[4x1x2+9（x1+x2）+21]=
1
3
(6-27+21)=0．
∴
F1A
⊥
F1B
．∴點F1在以線段AB為直徑的圓上．
點評：本題考查直線方程和橢圓方程的求法，解題時要認真審題，仔細挖掘題設中的隱含條件，注意合理地進行等價轉化．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞1）右焦點為F，它與直線l：y=k（x+1）相交于P、Q兩點，l與x軸的交點M到橢圓左準線的距離為d，若橢圓的焦距是b與d+|MF|的等差中項．
（1）求橢圓離心率e；
（2）設N與M關于原點O對稱，若以N為圓心，b為半徑的圓與l相切，且
OP
•
OQ
=-
5
3
求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左．右焦點分別為F1F2，上頂點為A，過點A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于點Q，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
．
（1）若過A．Q．F2三點的圓恰好與直線l：x-
3
y-3=0相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過右焦點F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M．N兩點．試證明：
1
|F2M|
+
1
|F2N|
為定值；②在x軸上是否存在點P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•鹽城一模）設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恒過定點A（1，2），則橢圓的中心到準線的距離的最小值
5
+2
5
+2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若P 是橢圓上的一點，|
PF1
|+|
PF2
|=4，離心率e=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P 是第一象限內該橢圓上的一點，
PF1
•
PF2
=-
5
4
，求點P的坐標；
（3）設過定點P（0，2）的直線與橢圓交于不同的兩點A，B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e=
2
2
，以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與直線x-
3
y-3=0相切．
（I）求橢圓C的方程；
（II）直線y=x交橢圓C于A、B兩點，D為橢圓上異于A、B的點，求△ABD面積的最大值．

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