Question

在周長(zhǎng)為定值的△ABC中，已知|AB|=6，且當(dāng)頂點(diǎn)C位于定點(diǎn)P時(shí)，cosC有最小值為．
（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求頂點(diǎn)C的軌跡方程．
（Ⅱ）過點(diǎn)A作直線與（Ⅰ）中的曲線交于M、N兩點(diǎn)，求的最小值的集合．

Answer 1

解：（Ⅰ） 以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)|CA|+|CB|=2a（a＞3）為定值，所以C點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，
所以焦距 2c=|AB|=6
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/80648.png' />
又 ，
所以，
由題意得 ，∴a²=25
此時(shí)，|PA|=|PB|，P點(diǎn)坐標(biāo)為 P（0，±4）．
所以C點(diǎn)的軌跡方程為
（Ⅱ）不妨設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為A（-3，0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
（1）當(dāng)直線MN的傾斜角不為90⁰時(shí)，設(shè)其方程為 y=k（x+3）代入橢圓方程化簡(jiǎn)，得

顯然有△≥0，所以 ，
而由橢圓第二定義可得=（5-）（5-）=25-3（x₁+x₂）
==

只要考慮 的最小值，即考慮取最小值，
∴當(dāng)k=0時(shí)，取最小值16；
（2）當(dāng)直線MN的傾斜角為90°時(shí)，x₁=x₂=-3，得
但，故k≠0，這樣的M、N不存在，即的最小值的集合為空集
分析：（Ⅰ）P點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，2c=|AB|，由余弦定理可得及基本不等式，可得，從而可求a，及C點(diǎn)的軌跡方程
（Ⅱ）不妨設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為A（-3，0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．（1）當(dāng)直線MN的傾斜角不為90⁰時(shí)，設(shè)其方程為 y=k（x+3）代入橢圓方程化簡(jiǎn)，顯然有△≥0，由橢圓第二定義可得=（5-）（5-）=25-3（x₁+x₂） 及方程的根與系數(shù)的關(guān)系可求|BM|•|BN|取最小值，（2）當(dāng)直線MN的傾斜角為90°時(shí)，x₁=x₂=-3，得 ，結(jié)合橢圓，故k≠0，這樣的M、N不存在．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)及余弦定理求解橢圓的方程，利用函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的最值問題，綜合性強(qiáng)．