Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（2x﹣a）2+（2﹣x+a）2 ， x∈[﹣1，1]．
（1）若設t=2x﹣2﹣x ， 求出t的取值范圍（只需直接寫出結果，不需論證過程）；并把f（x）表示為t的函數(shù)g（t）；
（2）求f（x）的最小值；
（3）關于x的方程f（x）=2a2有解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=（2x﹣a）2+（2﹣x+a）2=（2x﹣2﹣x）2﹣2a（2x﹣2﹣x）+2a2+2

令t=2x﹣2﹣x，x∈[﹣1，1]，∴

f（x）表示為t的函數(shù)g（t）=t2﹣2at+2a2+2=（t﹣a）2+a2+2

（2）解：g（t）=t2﹣2at+2a2+2=（t﹣a）2+a2+2，

當 時，

當 時，

當 時， ，

∴

（3）解：方程f（x）=2a2有解，即方程t2﹣2at+2=0在 上有解，而t≠0

∴ ，

令 ，則 ，∴函數(shù)在 上單調(diào)遞減， 上單調(diào)遞增

∴ ，

又 為奇函數(shù)，∴當 時

∴a的取值范圍是

【解析】（1）展開，換元，代入可得函數(shù)解析式；（2）利用配方法，分類討論，可求f（x）的最小值；（3）方程f（x）=2a2有解，即方程t2﹣2at+2=0在 上有解，分離參數(shù)，利用基本不等式可得結論．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義和函數(shù)的零點的相關知識點，需要掌握利用二次函數(shù)的性質（配方法）求函數(shù)的最大（�。┲担焕�用圖象求函數(shù)的最大（�。┲担焕�用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲�；函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標．即：方程有實數(shù)根，函數(shù)的圖象與坐標軸有交點，函數(shù)有零點才能正確解答此題．