Question

（1）已知拋物線y²=2px（p＞0），過焦點F的動直線l交拋物線于A，B兩點，為坐標原點，求證：為定值；
（2）由（1）可知：過拋物線的焦點F的動直線 l 交拋物線于A，B兩點，存在定點P，使得為定值．請寫出關(guān)于橢圓的類似結(jié)論，并給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）先討論出當直線l垂直于x軸時，的值；再設(shè)出直線方程，把直線與拋物線方程聯(lián)立，得到A，B兩點的坐標和斜率之間的關(guān)系，再代入計算即可得到結(jié)論．
（2）先寫出類似結(jié)論，再根據(jù)第一問求的方法即可得到結(jié)論．（注意要分直線斜率存在和不存在兩種情況討論）．
解答：解：（1）若直線l垂直于x軸，則，.=．…（2分）
若直線l不垂直于軸，設(shè)其方程為，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．
由．…（4分）
∴=x₁x₂+y₁y₂===．
綜上，=為定值．…（6分）
（2）關(guān)于橢圓有類似的結(jié)論：
過橢圓的一個焦點F的動直線l交橢圓于A、B兩點，存在定點P，使為定值．
證明：不妨設(shè)直線l過橢圓的右焦點F（c，0）（其中）
若直線l不垂直于軸，則設(shè)其方程為：y=k（x-c），A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．
由得：
所以，．…（9分）
由對稱性可知，設(shè)點P在x軸上，其坐標為（m，0）．
所以=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂
=（1+k²）x₁x₂-（m+ck²）（x₁+x₂）+m²+c²k²
=（1+k²）-（m+ck²）+m²+c²k²
=
要使為定值，
只要a⁴-a²b²-b⁴+a²m²-2a²cm=a²（m²-a²），
即
此時=m²-a²=…（12分）
若直線l垂直于x軸，則其方程為x=c，，．
取點
有==．…（13分）
綜上，過焦點F（c，0）的任意直線l交橢圓于A、B兩點，存在定點
使=．為定值．…（14分）
點評：本題主要考查拋物線的基本性質(zhì)以及直線與圓錐曲線的綜合問題．在解決直線與圓錐曲線綜合問題時，常把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立．