Question

5．如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)為A，且AF₁⊥AF₂
∠AF₁F₂=30°，則橢圓與雙曲線的離心率的之積為（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 運(yùn)用橢圓和雙曲線的定義，結(jié)合離心率公式和解直角三角形的有關(guān)知識(shí)，化簡(jiǎn)計(jì)算即可得到．

解答 解：設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a₁，焦距為2c，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)2a₂，焦距為2c，
由橢圓的定義可知，丨AF₁丨+丨AF₂丨=2a₁，
由雙曲線的定義：丨AF₁丨-丨AF₂丨=2a₂，
在Rt△AF₁F₂中，∠AF₁F₂=30°，
則丨AF₂丨=$\frac{1}{2}$丨F₁F₂丨=c，丨AF₁丨=$\frac{\sqrt{3}}{2}$丨F₁F₂丨=$\sqrt{3}$c，
則有2a₁=（$\sqrt{3}$+1）c，2a₂=（$\sqrt{3}$-1）c，
則離心率e₁=$\frac{c}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$，e₂=$\frac{c}{{a}_{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$，
e₁×e₂=$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$×$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=2，
則橢圓與雙曲線的離心率的之積2，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，考查離心率公式，三角形的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．