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如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.
（Ⅰ）連結BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，
△BCD是等邊三角形.因為E是CD的中點，所以BE⊥CD,又AB∥CD,
所以BE⊥AB.又因為PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以
PA⊥BE,因此BE⊥平面PAB.又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.

解: （Ⅱ）延長AD、BE相交于點F，連結PF.
過點A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.
在Rt△ABF中，因為∠BAF＝60°，
所以，AF=2AB=2=AP.在等腰Rt△PAF中，取PF的中點G，連接AG.
則AG⊥PF.連結HG，由三垂線定理的逆定理得，
PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）.
在等腰Rt△PAF中，
在Rt△PAB中，
所以，在Rt△AHG中，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是
略
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2．
（Ⅰ）求證：AE//平面DCF；
（Ⅱ）當AB的長為何值時,二面角A-EF-C的大小為．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在四棱錐中，//，，，平面，.
（Ⅰ）設平面平面，求證：//；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）設點為線段上一點，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分12分如圖，四邊形為矩形，且，，為上的動點。

（1） 當為的中點時，求證：；
（2） 設，在線段上存在這樣的點E，使得二面角的平面角大小為。試確定點E的位置。

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）如圖，在矩形ABCD中AB="1," BC=, 點P為矩形ABCD所
在平面外一點，PA⊥平面ABCD，點E為PA的中點。

（Ⅰ）求證：PC//平面BED；
（Ⅱ）求直線BD與平面PAB所成的角的大小.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分12分）如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點E在線段AD上，CE∥AB。
（Ⅰ）求證：CE⊥平面PAD；
（Ⅱ）若PA＝AB＝1，AD＝3，且CD與平面PAD所成的角為45°，求二面角B—PE—A的正切值。

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分14分）已知如圖(1)，梯形中，，，，、分別是、上的動點，且，設（）。沿將梯形翻折，使平面平面，如圖（2）。
（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）若以、、、為頂點的三棱錐的體積記為，求的最大值；
（Ⅲ）當取得最大值時，求二面角的正弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖甲，在直角梯形中，，，，是的中點. 現沿把平面折起，使得（如圖乙所示），、分別為、邊的中點.
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：平面平面；
（Ⅲ）在上找一點，使得平面.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）如圖三棱柱中，底面側面為等邊三角形，且AB=BC，三棱錐的體積為

（I）求證：；
（II）求直線與平面BAA1所成角的正弦值.

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