Question

1．已知一個(gè)盒子中裝有3個(gè)黑球和4個(gè)白球，現(xiàn)從該盒中摸出3個(gè)球，假設(shè)每個(gè)球被摸到的可能性相同．
（Ⅰ）若每次摸一個(gè)球，摸后不放回，求三次摸到的球的顏色依次為“白，黑，白”的概率；
（Ⅱ）設(shè)摸到的白球的個(gè)數(shù)為m，黑球的個(gè)數(shù)為n，令X=m-n，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)事件A為“三次摸到的球的顏色依次為“白，黑，白”，由排列組合知識(shí)能求出三次摸到的球的顏色依次為“白，黑，白”的概率．
（Ⅱ）X的所有取值為-3，-1，1，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)事件A為“三次摸到的球的顏色依次為“白，黑，白”，
則$P（A）=\frac{A_4^2C_3^1}{A_7^3}=\frac{6}{35}$．
（Ⅱ）X的所有取值為-3，-1，1，3，
P（X=-3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{1}{35}$，
P（X=-1）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{12}{35}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{18}{35}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{4}{35}$，
∴X的分布列為：

X	-3	-1	1	3
p	$\frac{1}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{4}{35}$

∴$E（X）=（-3）×\frac{1}{35}+（-1）×\frac{12}{35}+1×\frac{18}{35}+3×\frac{4}{35}=\frac{3}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．