已知函數(shù)f(x)=-x2+2x
(1)證明函數(shù)f(x)在(-∞,1]上是增函數(shù);
(2)當(dāng)x∈[-5,-2]時(shí),f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)?
分析:(1)證明本題的大前提是增函數(shù)的定義,即增函數(shù)f(x)滿足:
在給定區(qū)間內(nèi)任取自變量的兩個(gè)值x1,x2且x1<x2,f(x1)<f(x2),
小前提是函數(shù)f(x)=-x2+2x,x∈(-∞,1],結(jié)論滿足增函數(shù)定義.
(2)關(guān)鍵是看[-5,-2]與f(x)的增區(qū)間或減區(qū)間的關(guān)系.
解答:解:(1)方法一:任取x1,x2∈(-∞,1],x1<x2
則f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x2+x1-2),
∵x1<x2≤1,∴x2+x1-2<0,∴f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2
∴f(x)=-x2+2x在(-∞,1]上是增函數(shù);
方法二:
∵f(x)=-2x+2=-2(x-1),當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),x-1<0,∴-2(x-1)>0,
∴f(x)>0在x∈(-∞,1)上恒成立.
故f(x)在(-∞,1]上是增函數(shù).
2)∵f(x)在(-∞,1]上是增函數(shù),
而[-5,-2]是區(qū)間(-∞,1]的子區(qū)間,∴f(x)在[-5,-2]上是增函數(shù).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷問題.函數(shù)的單調(diào)性判斷一般有兩種方法,即定義法和求導(dǎo)判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對(duì)稱,求φ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時(shí)f(x)的表達(dá)式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實(shí)數(shù)a的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實(shí)數(shù)m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項(xiàng)和為Sn,則S2010的值為(  )
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對(duì)于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

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