Question

20．已知函數(shù)$\begin{array}{l}f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^x}-1，（{x＜1}）\\{x^3}-9{x^2}+24x-16，（{x≥1}）\end{array}\right.\end{array}$，則關(guān)于x的方程|f（x）|=a（a為實(shí)數(shù)）根個數(shù)不可能為（　�。�

• A． 1
• B． 3
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 判斷f（x）的單調(diào)性，計算f（x）的極值，作出y=|f（x）|的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象得出方程|f（x）|=a的解的情況．

解答 解：當(dāng)x＜1時，f（x）為增函數(shù)，且f（0）=0，
當(dāng)x≥1時，f′（x）=3x²-18x+24，
令f′（x）=0得3x²-18x+24=0，解得x₁=2，x₂=4，
當(dāng)1≤x＜2時，f′（x）＞0，當(dāng)2＜x＜4時，f′（x）＜0，當(dāng)x＞4時，f′（x）＞0，
∴當(dāng)x=2時，f（x）取得極大值f（2）=4，當(dāng)x=4時，f（x）取得極小值f（4）=0，
做出y=f（x）的函數(shù)圖象如圖：

將x軸下方的圖象向上翻折得出y=|f（x）|的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知：
當(dāng)a＜0時，|f（x）|=a無解，
當(dāng)a=0時，|f（x）|=a有3解，
當(dāng)0＜a＜1時，|f（x）|=a有5解，
當(dāng)1≤a＜e-1時，|f（x）|=a有4解，
當(dāng)e-1≤a＜4時，|f（x）|=a有3解，
當(dāng)a=4時，|f（x）|=a有2解，
當(dāng)a＞4時，|f（x）|=a有1解．
故選D．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷，函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．