【題目】已知函數(shù)f(x)=在點(1,1)處的切線方程為x+y=2.
(1)求a,b的值;
(2)對函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任一個實數(shù)x,不等式f(x)-<0恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1) (2)m的取值范圍是(1,+∞).
【解析】試題分析:(1)先根據(jù)導數(shù)幾何意義得f′(1)=-1,再根據(jù) 解得a,b的值;(2)先變量分離得 最大值,再利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,進而得最大值,即得實數(shù)m的取值范圍.
試題解析:(1)由題f′(x)=,
又直線x+y=2的斜率為-1.2分
∴f′(1)=-1,即=-1.3分
又(1,1)點在函數(shù)f(x)=的圖象上,
故=1,
由解得
(2)由(1)得f(x)= (x>0),由f(x)<及x>0<m,8分
令g(x)=
g′(x)=
=,
令h(x)=1-x-ln xh′(x)=-1-<0(x>0),故h(x)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù),
故當0<x<1時,h(x)>h(1)=0,
當x>1時,h(x)<h(1)=0.10分
從而當0<x<1時,g′(x)>0,當x>1時,
g′(x)<0g(x)在(0,1)是增函數(shù),在(1,+∞)是減函數(shù).11分
故g/span>(x)max=g(1)=1,要使<m成立,只需m>1,
故m的取值范圍是(1,+∞).
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【題目】函數(shù)f(x)=x3-kx,其中實數(shù)k為常數(shù).
(1)當k=4時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若曲線y=f(x)與直線y=k只有一個交點,求實數(shù)k的取值范圍.
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【題目】已知橢圓右頂點與右焦點的距離為,短軸長為
(I)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過左焦點F的直線與橢圓分別交于A、B兩點,若三角形OAB的面積為求直線AB的方程。
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+ex- (x<0)與g(x)=x2+ln(x+a)圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點,則a的取值范圍是( )
A. (-∞,) B. (-∞,)
C. (-, ) D. (-, )
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=45°,點O在AB上,且OB=OC=AB,PO⊥平面ABC,DA∥PO,DA=AO=PO.
(1)求證:PB∥平面COD;
(2)求二面角O-CD-A的余弦值.
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【題目】某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標值衡量,并依據(jù)質(zhì)量指標值劃分等級如下表:
從某企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中抽取200件,檢測后得到如下的頻率分布直方圖:
(1)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),能否認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“一、二等品至少要占全部產(chǎn)品”的規(guī)定?
(2)在樣本中,按產(chǎn)品等級用分層抽樣的方法抽取8件,再從這8件產(chǎn)品中隨機抽取4件,求抽取的4件產(chǎn)品中,一、二、三等品都有的概率;
(3)該企業(yè)為提高產(chǎn)品質(zhì)量,開展了“質(zhì)量提升月”活動,活動后再抽樣檢測,產(chǎn)品質(zhì)量指標值近似滿足,則“質(zhì)量提升月”活動后的質(zhì)量指標值的均值比活動前大約提升了多少?
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【題目】“過大年,吃水餃”是我國不少地方過春節(jié)的一大習俗,2018年春節(jié)前夕, 市某質(zhì)檢部門隨機抽取了100包某種品牌的速凍水餃,檢測其某項質(zhì)量指標.
(1)求所抽取的100包速凍水餃該項質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)①由直方圖可以認為,速凍水餃的該項質(zhì)量指標值服從正態(tài)分布,利用該正態(tài)分布,求落在內(nèi)的概率;
②將頻率視為概率,若某人從某超市購買了4包這種品牌的速凍水餃,記這4包速凍水餃中這種質(zhì)量指標值位于內(nèi)的包數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望.
附:①計算得所抽查的這100包速凍水餃的質(zhì)量指標的標準差為;
②若,則,.
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