9.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,焦距為4,且經(jīng)過點(2,-3).若點P在橢圓上,且在x軸上方,$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$=0.
(1)求橢圓C的方程;
(2)①求△PF1F2的內(nèi)切圓M的方程;
②若直線l過△PF1F2的內(nèi)切圓圓心M,交橢圓于A,B兩點,且A,B關(guān)于點M對稱,求直線l的方程.

分析 (1)橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)焦點在x軸上,2c=4,c=2,則a2=b2+4,將點(2,-3)代入橢圓方程:$\frac{4}{^{2}+4}+\frac{9}{^{2}}=1$.即可求得a和b的值,求得橢圓方程;
(2)①由(1)可知:c=2,F(xiàn)1(-2,0),由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$=0,由PF1⊥F1F2,代入橢圓方程得$\frac{4}{16}+\frac{{y}_{P}^{2}}{12}=1$,求得P點坐標(biāo),則在Rt△PF1F2中,丨PF1丨=3,丨F1F2丨=4,丨PF2丨=5,則r=$\frac{3+4-5}{2}$=1,即M(-1,1),則圓方程為:(x+1)2+(y-1)2=1;
②設(shè)直線l:y=k(x+1)+1,代入橢圓方程,由A,B關(guān)于點M(-1,1)對稱,$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{1}{2}$•$\frac{8k(k+1)}{4{k}^{2}+3}$=-1,解得:k=$\frac{3}{4}$,即可求得橢圓方程.

解答 解:(1)橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)焦點在x軸上,2c=4,c=2,
則a2=b2+4,
將點(2,-3)代入橢圓方程:$\frac{4}{^{2}+4}+\frac{9}{^{2}}=1$.解得:a2=16,b2=12,
則橢圓C的方程為:$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$.                                     …(5分)
(2)①由(1)可知:c=2,F(xiàn)1(-2,0),由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$=0,
∴PF1⊥F1F2
設(shè)點P(-2,yP)(yP>0),代入橢圓方程得$\frac{4}{16}+\frac{{y}_{P}^{2}}{12}=1$,從而yP=3,
即P(-2,3),…(7分)
則在Rt△PF1F2中,丨PF1丨=3,丨F1F2丨=4,丨PF2丨=5,
設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,圓心坐標(biāo)為M(xM,yM),則r=$\frac{3+4-5}{2}$=1,xM=-2+1=-1,yM=1,即M(-1,1),
故所求圓方程為:(x+1)2+(y-1)2=1,…(10分)
②設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意知直線AB斜率k,存在且不等于0,故設(shè)直線l:y=k(x+1)+1,
$\left\{\begin{array}{l}{y=k(x+1)+1}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$,整理得:(4k2+3)x2+8k(k+1)x+4(k+1)2-48=0,
由A,B關(guān)于點M(-1,1)對稱,
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{1}{2}$•$\frac{8k(k+1)}{4{k}^{2}+3}$=-1,解得:k=$\frac{3}{4}$,…(15分)
所以,直線l的方程為:y-1=$\frac{3}{4}$(x+1),即3x-4y+7-0.                  …(16分)

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,三角形內(nèi)切圓的方程,考查計算能力,屬于中檔題.

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