Question

若函數(shù)f（x）=

1

2

x+sin x-

3

2

在區(qū)間[0，π]上的最大值和最小值分別為M和m，則M-m的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：本題可利用導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)確定原函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性從而知道函數(shù)的最值，求出最大值和最小值，得到M-m的值，即得到本題的解．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

1

2

x+sin x-

3

2

，
∴f′(x)=

1

2

+cosx．
∵x∈[0，π]，
∴當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，cosx＞-

1

2

，0＜x＜

2

3

π，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，cosx＜-

1

2

，

2

3

π＜x＜π，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)f′（x）=0時(shí)，cosx=-

1

2

，x=

2

3

π，f（x）有極大值．
∵M(jìn)=f（

2

3

π）=

π

3

+

3

2

-

3

2

=

1

2

，
f（0）=-

3

2

，f（π）=

π

2

-

3

2

，
∴m=-

3

2

，
∴M-m=

1

2

+

3

2

．
故答案為：

1

2

+

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是函數(shù)的單調(diào)性和最值，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．