【題目】如圖,ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形,DE平面ABCD,AFDE,DE=3AF,BE與平面ABCD所成角為60°.

(1)求二面角F-BE-D的余弦值;

(2)設(shè)點(diǎn)M是線(xiàn)段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試確定點(diǎn)M的位置,使得AM平面BEF,并證明你的結(jié)論.

【答案】(1);(2)見(jiàn)解析

【解析】

(1)以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,然后結(jié)合條件得到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求得平面BEF的法向量和平面BDE的法向量,求出兩向量夾角的余弦值,再結(jié)合圖形可得二面角的余弦值.(2)設(shè)點(diǎn)M(t,t,0),于是得=(t-3,t,0),由AM平面BEF可得,解得,故得點(diǎn)M坐標(biāo)為(2,2,0),BM=BD,即為所求.

(1)因?yàn)镈A,DC,DE兩兩垂直,所以建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖所示.

因?yàn)镈E⊥平面ABCD,

所以BE與平面ABCD所成角為∠DBE,故∠DBE =60°,

所以.

由AD=3可知DE=3,AF=.

則A(3,0,0),F(3,0,),E(0,0,3),B(3,3,0),C(0,3,0),

所以=(0,-3,),=(3,0,-2),

設(shè)平面BEF的法向量為,

令z=,則.

同理得平面BDE的法向量為,(也可證AC⊥平面BDE,得即為法向量).

所以cos<,>=.

由圖形得二面角F-BE-D為銳角,

所以二面角F-BE-D的余弦值為.

(2)點(diǎn)M是線(xiàn)段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)M(t,t,0).

=(t-3,t,0),

因?yàn)锳M∥平面BEF,

所以,

解得t=2.

此時(shí),點(diǎn)M坐標(biāo)為(2,2,0),BM=BD,符合題意.

所以當(dāng)BM=BD 時(shí),滿(mǎn)足AM平面BEF.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】(14分)在四棱錐PABCD中,ABCACD=90°BACCAD=60°,PA平面ABCD,EPD的中點(diǎn),PA=2AB=2.

)求四棱錐PABCD的體積V;

)若FPC的中點(diǎn),求證PC平面AEF;

)求證CE平面PAB

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【題目】已知在區(qū)間上存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù),使得以為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形,則的取值范圍是(

A. B.

C. D.

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【題目】知函數(shù) (、為常數(shù)),曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是

(1)、的值

(2)的最大值

(3)設(shè),證明:對(duì)任意都有.

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【題目】已知一工廠生產(chǎn)了某種產(chǎn)品700件,該工廠對(duì)這些產(chǎn)品進(jìn)行了安全和環(huán)保這兩個(gè)性能的質(zhì)量檢測(cè)。工廠決定利用隨機(jī)數(shù)表法從中抽取100件產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢測(cè),現(xiàn)將700件產(chǎn)品按001,002,…,700進(jìn)行編號(hào);

(1)如果從第8行第4列的數(shù)開(kāi)始向右讀,請(qǐng)你依次寫(xiě)出最先檢測(cè)的3件產(chǎn)品的編號(hào);

(下面摘取了隨機(jī)數(shù)表的第7~9行)

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54

(2)抽取的100件產(chǎn)品的安全性能和環(huán)保性能的質(zhì)量檢測(cè)結(jié)果如下表:

檢測(cè)結(jié)果分為優(yōu)等、合格、不合格三個(gè)等級(jí),橫向和縱向分別表示安全性能和環(huán)保性能。若在該樣本中,產(chǎn)品環(huán)保性能是優(yōu)等的概率為,求,的值。

件數(shù)

環(huán)保性能

優(yōu)等

合格

不合格

安全性能

優(yōu)等

6

20

5

合格

10

18

6

不合格

4

(3)已知,,求在安全性能不合格的產(chǎn)品中,環(huán)保性能為優(yōu)等的件數(shù)比不合格的件數(shù)少的概率。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且

(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;

(2)若PA=PD=AB=DC, ,且四棱錐P-ABCD的體積為,求該四棱錐的側(cè)面積.

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【題目】已知某校6個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)?nèi)缦卤恚?/span>

學(xué)生的編號(hào)

1

2

3

4

5

6

數(shù)學(xué)

89

87

79

81

78

90

物理

79

75

77

73

72

74

(1)若在本次考試中,規(guī)定數(shù)學(xué)在80分以上(包括80分)且物理在75分以上(包括75分)的學(xué)生為理科小能手.從這6個(gè)學(xué)生中抽出2個(gè)學(xué)生,設(shè)表示理科小能手的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(2)通過(guò)大量事實(shí)證明發(fā)現(xiàn),一個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)具有很強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,在上述表格是正確的前提下,用表示數(shù)學(xué)成績(jī),用表示物理成績(jī),求的回歸方程.

參考數(shù)據(jù)和公式:,其中,.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)在直線(xiàn)上,且離心率.

(1)求該橢圓的方程;

(2)若是該橢圓上不同的兩點(diǎn),且線(xiàn)段的中點(diǎn)在直線(xiàn)上,試證: 軸上存在定點(diǎn),對(duì)于所有滿(mǎn)足條件的,恒有;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某地區(qū)高考實(shí)行新方案規(guī)定:語(yǔ)文、數(shù)學(xué)和英語(yǔ)是考生的必考科目,考生還須從物理,化學(xué)生物,歷史地理和政治六個(gè)科目中選取三個(gè)科目作為選考科目若一個(gè)學(xué)生從六個(gè)科目中選出了三個(gè)科目作為選考科目,則稱(chēng)該學(xué)生的選考方案確定;否則稱(chēng)該學(xué)生選考方案待確定例如,學(xué)生甲選擇“物理、化學(xué)和生物”三個(gè)選考科目則學(xué)生甲的選考方案確定,“物理、化學(xué)和生物”為其選考方案

某學(xué)校為了解高一年級(jí)420名學(xué)生選考科目的意向,隨機(jī)選取30名學(xué)生進(jìn)行了一次調(diào)查,統(tǒng)計(jì)選考科目人數(shù)如下表:

性別

選考方案確定情況

物理

化學(xué)

生物

歷史

地理

政治

男生

選考方案確定的有8

8

8

4

2

1

1

選考方案待確定的有6

4

3

0

1

0

0

女生

選考方案確定的有10

8

9

6

3

3

1

選考方案待確定的有6

5

4

1

0

0

1

(Ⅰ)估計(jì)該學(xué)校高一年級(jí)選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生有多少人?

(Ⅱ)假設(shè)男生、女生選擇選考科目是相互獨(dú)立的從選考方案確定的8位男生中隨機(jī)選出1,從選考方案確定的10位女生中隨機(jī)選出1,試求該男生和該女生的選考方案中都含有歷史學(xué)科的概率;

(Ⅲ)從選考方案確定的8名男生中隨機(jī)選出2設(shè)隨機(jī)變量,

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