已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),是否存在實(shí)數(shù)m,使f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)對(duì)所有θ∈[0,]都成立?若存在,求出符合條件的所有實(shí)數(shù)m的范圍,若不存在,說(shuō)明理由。
符合題目要求的m的值存在,其取值范圍是m>4-2.
∵f(x)是R上的奇函數(shù),且在[0,+∞)上是增函數(shù),∴f(x)是R上的增函數(shù)。于是不等式可等價(jià)地轉(zhuǎn)化為f(cos2θ-3)>f(2mcosθ-4m),
即cos2θ-3>2mcosθ-4m,即cos2θ-mcosθ+2m-2>0。
設(shè)t=cosθ,則問(wèn)題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為函數(shù)
g(t)=t2-mt+2m-2=(t-)2-+2m-2在[0,1]上的值恒為正,又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)在[0,1]上的最小值為正。
∴當(dāng)<0,即m<0時(shí),g(0)=2m-2>0m>1與m<0不符;
當(dāng)0≤≤1時(shí),即0≤m≤2時(shí),g(m)=-+2m-2>0
4-2<m<4+2,∴4-2<m≤2.
當(dāng)>1,即m>2時(shí),g(1)=m-1>0m>1 ∴m>2
綜上,符合題目要求的m的值存在,其取值范圍是m>4-2.
另法(僅限當(dāng)m能夠解出的情況) cos2θ-mcosθ+2m-2>0對(duì)于θ∈[0,]恒成立,
等價(jià)于m>(2-cos2θ)/(2-cosθ) 對(duì)于θ∈[0,]恒成立
∵當(dāng)θ∈[0,]時(shí),(2-cos2θ)/(2-cosθ) ≤4-2,
∴m>4-2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
A.0 B.1 C.-1 D.2
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