Question

（06年重慶卷文）（12分）

如圖，對(duì)每個(gè)正整數(shù)，是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)角拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)。

（Ⅰ）試證：；

（Ⅱ）取，并記為拋物線(xiàn)上分別以與為切點(diǎn)的兩條切線(xiàn)的交點(diǎn)。試證：；

Answer 1

解析：證明：（Ⅰ）對(duì)任意固定的因?yàn)榻裹c(diǎn)F（0,1）,所以可設(shè)直線(xiàn)的方程為

將它與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立得:

,由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得．

（Ⅱ）對(duì)任意固定的利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)易得拋物線(xiàn)在處

的切線(xiàn)的斜率故在處的切線(xiàn)的方程為：

，……①

類(lèi)似地，可求得在處的切線(xiàn)的方程為：

，……②

由②－①得：，

……③

將③代入①并注意得交點(diǎn)的坐標(biāo)為．

由兩點(diǎn)間的距離公式得：

．

現(xiàn)在，利用上述已證結(jié)論并由等比數(shù)列求和公式得：