Question

3．直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（1）寫出C₁的普通方程和C₂的直角坐標方程；
（2）設點P在C₁上，點Q在C₂上，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據sin²+cos²θ=1，x=ρcosθ，y=ρsinθ．將參數(shù)方程和極坐標方程化成直角坐標方程；
（2）由題意可得當直線x+y-4=0的平行線與橢圓相切時，|PQ|取得最值．設與直線x+y-4=0平行的直線方程為x+y+t=0，代入橢圓方程，運用判別式為0，求得t，再由平行線的距離公式，可得|PQ|的最小值．

解答 解：（1）參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$消去參數(shù)，得
$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1．
ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，即為ρ（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ）=2$\sqrt{2}$，化為直角坐標方程為x+y-4=0；
（2）由題意可得當直線x+y-4=0的平行線與橢圓相切時，
|PQ|取得最值．
設與直線x+y-4=0平行的直線方程為x+y+t=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y+t=0}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$
可得4x²+6tx+3t²-3=0，
由直線與橢圓相切，可得△=36t²-16（3t²-3）=0，
解得t=±2，
顯然t=-2時，|PQ|取得最小值，
即有|PQ|=$\frac{|-4-（-2）|}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查參數(shù)方程和普通方程的互化、極坐標和直角坐標的互化，同時考查直線與橢圓的位置關系，主要是相切，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．