精英家教網(wǎng)已知定點(diǎn)A(0,-1),點(diǎn)B在圓F:x2+(y-1)2=16上運(yùn)動(dòng),F(xiàn)為圓心,線段AB的垂直平分線交BF于P.
(I)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程;若曲線Q:x2-2ax+y2+a2=1被軌跡E包圍著,求實(shí)數(shù)a的最小值.
(II)已知M(-2,0)、N(2,0),動(dòng)點(diǎn)G在圓F內(nèi),且滿足|MG|•|NG|=|OG|2,求
MG
NG
的取值范圍.
分析:(I)由題意得|PA|=|PB|,得到|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=4>|AF|=2,根據(jù)橢圓的定義可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程;根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)(有界性),可求得實(shí)數(shù)a的最小值;
(II)設(shè)G(x,y),并代入|MG|•|NG|=|OG|2,得到關(guān)于x,y的一個(gè)方程,點(diǎn)G在圓F:x2+(y-1)2=16內(nèi),得到關(guān)于x,y的一個(gè)不等式,可求得y的取值范圍,把點(diǎn)G的坐標(biāo)代入
MG
NG
中,利用不等式的基本性質(zhì)分析即可求得結(jié)果.
解答:解:(I)由題意得|PA|=|PB|,
∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=4>|AF|=2
∴P點(diǎn)軌跡是以A、F為焦點(diǎn)的橢圓.
設(shè)橢圓方程為
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0),
則2a=4,a=2,a2-b2=c2=1,故b2=3,
∴點(diǎn)p的軌跡方程為
y2
4
+
x2
3
=1
曲線Q:x2-2ax+y2+a2=1化為(x-a)2+y2=1,
則曲線Q是圓心在(a,0),半徑為1的圓.
而軌跡E:
y2
4
+
x2
3
=1為焦點(diǎn)在Y軸上的橢圓,短軸上的頂點(diǎn)為(-
3
,0),(
3
,0)

結(jié)合它們的圖象知:若曲線Q被軌跡E包圍著,則-
3
+1≤a≤
3
-1
∴a的最小值為-
3
+1;
(II)設(shè)G(x,y),由|MG|•|NG|=|OG|2
得:
(x+2)2+y2
(x-2)2+y2
=x2+y2

化簡(jiǎn)得x2-y2=2,即x2=y2+2
MG
NG
=(x+2,y)•(x-2,y)=x2+y2-4=2(y2-1).
∵點(diǎn)G在圓F內(nèi):x2+(y-1)2=16內(nèi),∴x2+(y-1)2<16
又G滿足x2=y2+2
∴y2+2+(y-1)2<16?
2-6
3
4
<y<
2+6
3
4
?0≤y2
14+3
3
2
,
∴-2≤2(y2-1)<12+3
3

MG
NG
的取值范圍為[-2,12+3
3
).
點(diǎn)評(píng):此題是個(gè)難題.考查橢圓的定義和幾何性質(zhì),以及點(diǎn)圓位置關(guān)系和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,綜合性較強(qiáng),特別是問(wèn)題(II)的設(shè)置,轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題,增加題目的難度.
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已知定點(diǎn)A(0,1),B(0,-1),C(1,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足:
AP
BP
=k|
PC
|2
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程,并說(shuō)明方程表示的曲線類型;
(2)當(dāng)k=2,求|2
AP
+
BP
|的最大,最小值.

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(1)求△AMN面積f (x);
(2)求f (x)的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

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AP
BP
=k|
PC
|2
(k∈R).
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程,并說(shuō)明方程表示的圖形;
(2)當(dāng)k=2時(shí),求|
AP
+
BP
|
的最大值和最小值.

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