Question

【題目】數(shù)列中，，.前項(xiàng)和滿足.

（1）求（用表示）；

（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（3）若，現(xiàn)按如下方法構(gòu)造項(xiàng)數(shù)為的有窮數(shù)列，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.記數(shù)列的前項(xiàng)和，試問(wèn)：是否能取整數(shù)？若能，請(qǐng)求出的取值集合：若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2）證明見(jiàn)詳解.

（3）能取整數(shù),此時(shí)的取值集合為.

【解析】

（1）利用遞推關(guān)系式,令,通過(guò),求出即可.

（2）遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為：,化簡(jiǎn)推出數(shù)列是等比數(shù)列.

（3）由,求出,求出,得到通項(xiàng)公式,然后求解的分母與分子,討論要使取整數(shù),需為整數(shù),推出的取值集合為時(shí),取整數(shù)

解：（1）令,則,

將,代入,有.

解得：.

（2）由

得,

化簡(jiǎn)得,又,

是等比數(shù)列.

（3）由,,

又是等比數(shù)列,

,

,

①當(dāng)時(shí),

依次為,

.

②當(dāng)時(shí),

,

,

,

要使取整數(shù),需為整數(shù),

令,,

,要么都為整數(shù),要么都不是整數(shù),

又

所以當(dāng)且僅當(dāng)為奇數(shù)時(shí),為整數(shù),

即的取值集合為時(shí),取整數(shù).