Question

14．在一次愛心捐款活動(dòng)中，小李為了了解捐款數(shù)額是否和居民自身的經(jīng)濟(jì)收入有關(guān)，隨機(jī)調(diào)查了某地區(qū)的100個(gè)捐款居民每月平均的經(jīng)濟(jì)收入．在捐款超過100元的居民中，每月平均的經(jīng)濟(jì)收入沒有達(dá)到2000元的有60個(gè)，達(dá)到2000元的有20個(gè)；在捐款不超過100元的居民中，每月平均的經(jīng)濟(jì)收入沒有達(dá)到2000元的有10個(gè)．
（Ⅰ）在下圖表格空白處填寫正確數(shù)字，并說明是否有95%以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額是否超過100元和居民每月平均的經(jīng)濟(jì)收入是否達(dá)到2000元有關(guān)？
（Ⅱ）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量居民中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1個(gè)居民，共抽取3次，記被抽取的3個(gè)居民中經(jīng)濟(jì)收入達(dá)到2000元的人數(shù)為X，求P（X=2）和期望EX的值．

	每月平均經(jīng)濟(jì)收入達(dá)到2000元	每月平均經(jīng)濟(jì)收入沒有達(dá)到2000元	合計(jì)
捐款超過 100元
捐款不超 過100元
合計(jì)

參 考 數(shù) 據(jù)	當(dāng)x2≤2.706時(shí)，無充分證據(jù)判定變量A，B有關(guān)聯(lián)，可以認(rèn)為兩變量無關(guān)聯(lián)；
	當(dāng)x2＞2.706時(shí)，有90%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；
	當(dāng)x2＞3.841時(shí)，有95%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；
	當(dāng)x2＞6.635時(shí)，有99%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)．

附：X²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意填列聯(lián)表，計(jì)算觀測值，對照臨界值即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）抽取自身經(jīng)濟(jì)收入超過2000元居民的頻率視為概率，
由題意知X的可能取值有0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{3}{10}$），
計(jì)算P（X=2）與期望即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知，填表如下；

	每月平均經(jīng)濟(jì)收入達(dá)到2000元	每月平均經(jīng)濟(jì)收入沒有達(dá)到2000元	合計(jì)
捐款超過 100元	20	60	80
捐款不超 過100元	10	10	20
合計(jì)	30	70	100

計(jì)算X²=$\frac{100{×（60×10-10×20）}^{2}}{80×20×70×30}$≈4.762，
對照臨界值得4.762＞3.841，
∴有95%以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額是否超過100元和居民每月平均的經(jīng)濟(jì)收入是否達(dá)到2000元有關(guān)；
（Ⅱ）抽取自身經(jīng)濟(jì)收入超過2000元居民的頻率為0.3，
將頻率視為概率，由題意知X的可能取值有0，1，2，3，
則X～B（3，$\frac{3}{10}$），
∴P（X=2）=${C}_{3}^{2}$•${（\frac{3}{10}）}^{2}$•${（\frac{7}{10}）}^{1}$=$\frac{189}{1000}$，
X的期望為EX=np=3×$\frac{3}{10}$=0.9．

點(diǎn)評 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)與n次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的概率計(jì)算問題，也考查了數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，是綜合題．