Question

【題目】已知橢圓：，離心率為，并過(guò)點(diǎn).

(1)求橢圓方程；

(2)若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)。求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）直線過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為

【解析】

(1)可通過(guò)橢圓離心率為得出，再代入點(diǎn)得出，最后通過(guò)橢圓性質(zhì)得出，聯(lián)立解得橢圓方程；

(2)首先可以設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)與橢圓方程聯(lián)立解出與以及的值，

然后通過(guò)得出算式，帶入的值，解出的值，最后得出結(jié)果。

(1)由已知得，解得，橢圓方程為；

（ 2）設(shè)，由得，

，，

，

因?yàn)橐?/span>為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)且，

所以，，

，

整理得：，

解得：，且滿足

當(dāng)時(shí)，，直線過(guò)定點(diǎn)與已知矛盾；

當(dāng)時(shí)，，直線過(guò)定點(diǎn)，

綜上可知，直線過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為