6.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1,過右焦點F的直線l與橢圓C交于A,B兩點,當直線l的斜率為1時,坐標原點O到直線l的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(1)求橢圓的離心率;
(2)若直線可以繞點F轉(zhuǎn)動,動點P在橢圓上,當$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$時,求四邊形OAPB的面積.

分析 (1)F(c,0),直線l的方程為:y=x-c,可得:$\frac{c}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,解得c.又a2=2+c2,即可得出$e=\frac{c}{a}$.
(2)曲線C的方程:$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1,F(xiàn)(1,0).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y).設(shè)直線l:x=ky+1(k≠0)代入橢圓方程可得:(2k2+3)y2+4ky-4=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系及其$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$,可得 P$(\frac{6}{2{k}^{2}+3},\frac{-4k}{2{k}^{2}+3})$,把P坐標代入橢圓方程,解得k,由于對稱性知,當k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時,直線l:x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$y-1=0,利用點到直線的距離公式可得:坐標原點到直線l的距離為d1,點P到直線l的距離為d2,|AB|.可得S=$\frac{1}{2}|AB|(aasgwmu_{1}+u0wiwmk_{2})$.

解答 解:(1)F(c,0),直線l的方程為:y=x-c,
可得:$\frac{c}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,解得c=1.
又a2=2+1=3,∴$e=\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
(2)曲線C的方程:$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1,F(xiàn)(1,0).
  設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y)
設(shè)直線l:x=ky+1(k≠0)代入橢圓方程可得:(2k2+3)y2+4ky-4=0,
∴y1+y2=$-\frac{4k}{2{k}^{2}+3}$,y1•y2=-$\frac{4}{2{k}^{2}+3}$.
x1+x2=k(y1+y2)+2=$\frac{6}{2{k}^{2}+3}$.
∵$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$,
則 P$(\frac{6}{2{k}^{2}+3},\frac{-4k}{2{k}^{2}+3})$,
∵P在橢圓上,∴$2×\frac{36}{(2{k}^{2}+3)^{2}}$+3×$\frac{16{k}^{2}}{(2{k}^{2}+3)^{2}}$-6=0,
化為:4k4+4k2-3=0,解得k=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$.
由于對稱性知,當k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時,直線l:x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$y-1=0,P$(\frac{3}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$.
坐標原點到直線l的距離為d1=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,點P到直線l的距離為d2=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,
|AB|=$\sqrt{(1+2)[({y}_{1}+{y}_{2})^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
∴S=$\frac{1}{2}|AB|(w2muww6_{1}+6aw6u2o_{2})$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

點評 本題考查了直線與橢圓的相交弦長問題、點到直線的距離公式、向量坐標運算性質(zhì)、三角形面積計算公式,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.

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