Question

已知函數(shù)() =，g ()=+。
（1）求函數(shù)h ()=()-g ()的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，，證明：存在常數(shù)M,使得對(duì)于任意的，都有≤ .

Answer 1

（1）兩個(gè)零點(diǎn)，理由見解析     （2）見解析

（1）由知，，而，且，則為的一個(gè)零點(diǎn)，且在內(nèi)有零點(diǎn)，因此至少有兩個(gè)零點(diǎn)
解法1：，記，則。
當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050217756944.png" style="vertical-align:middle;" />，則在內(nèi)有零點(diǎn)，所以在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)。記此零點(diǎn)為，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而，則在內(nèi)無零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)；
從而在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。綜上所述，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)。
解法2：，記，則。
當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。因此在內(nèi)也至多只有一個(gè)零點(diǎn)，
綜上所述，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)。
（2）記的正零點(diǎn)為，即。
（1）當(dāng)時(shí)，由，即.而，因此，由此猜測(cè)：。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)時(shí)，顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)時(shí)，有成立，則當(dāng)時(shí)，由
知，，因此，當(dāng)時(shí)，成立。
故對(duì)任意的，成立。
（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，在上單調(diào)遞增。則，即。從而，即，由此猜測(cè)：。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)時(shí)，顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)時(shí)，有成立，則當(dāng)時(shí)，由
知，，因此，當(dāng)時(shí)，成立。
故對(duì)任意的，成立。
綜上所述，存在常數(shù)，使得對(duì)于任意的，都有.