Question

1．已知正三角形ABC邊長為2，將它沿高AD翻折，使點B與點C間的距離為$\sqrt{3}$，此時四面體ABCD的外接球的表面積為7π．

Answer 1

分析 三棱錐B-ACD的三條側(cè)棱BD⊥AD、DC⊥DA，它的外接球就是它擴展為三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心連線的中點到頂點的距離，就是球的半徑，然后求球的表面積．

解答 解：根據(jù)題意可知三棱錐B-ACD的三條側(cè)棱BD⊥AD、DC⊥DA，它的外接球就是它擴展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點到頂點的距離，就是球的半徑，
三棱柱ABC-A₁B₁C₁的中，底面邊長為1，1，$\sqrt{3}$，
由題意可得：三棱柱上下底面中點連線的中點，到三棱柱頂點的距離相等，說明中心就是外接球的球心，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的球心為O，外接球的半徑為r，
棱柱的高為$\sqrt{3}$，球心到底面的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
三棱柱中，底面△BDC，BD=CD=1，BC=$\sqrt{3}$，∴∠BDC=120°，∴△BDC的外接圓的半徑為：$\frac{\sqrt{3}}{2sin120°}$=1
∴球的半徑為r=$\sqrt{\frac{3}{4}+1}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
外接球的表面積為：4πr²=7π．
故答案為：7π．

點評 本題考查空間想象能力，計算能力；三棱柱上下底面中點連線的中點，到三棱柱頂點的距離相等，說明中心就是外接球的球心，是本題解題的關(guān)鍵，仔細觀察和分析題意，是解好數(shù)學(xué)題目的前提．