正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,P、Q分別是正方形AA1D1D和A1B1C1D1的中心.
(1)證明:PQ∥平面DD1C1C;
(2)求線段PQ的長;
(3)求PQ與平面AA1D1D所成的角.
分析:(1)直接由三角形中位線定理得線線平行,從而得線面平行;
(2)直接由三角形中位線等于底邊的一半得答案;
(3)由PQ∥DC1,∴PQ、DC1與平面AA1D1D所成的角相等,而DC1與平面AA1D1D所成的角為∠C1DD1=45°,則答案可求.
解答:(1)證明:如圖,
連接A1C1,DC1,則Q為A1C1的中點(diǎn),
∴PQ∥DC1,且PQ=
1
2
DC1,
∴PQ∥平面DD1C1C;
(2)解:∵正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,
DC1=
2

∴PQ=
1
2
DC1=
2
2
;
(3)解:∵PQ∥DC1,∴PQ、DC1與平面AA1D1D所成的角相等,
∵DC1與平面AA1D1D所成的角為∠C1DD1=45°,
∴PQ與平面AA1D1D所成的角為45°.
點(diǎn)評:本題考查了直線與平面平行的判定,考查了線面角的計(jì)算,訓(xùn)練了空間中點(diǎn)線面間的距離的計(jì)算,是中檔題.
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(2)設(shè)點(diǎn)P在線段GH上,
GP
GH
=λ,試確定λ的值,使得二面角P-C1B1-A1的余弦值為
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