Question

3．已知點A為橢圓$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$ （θ為參數(shù)）上任意一點，點B為圓（x-1）²+y²=1 上任意一點，則|AB|的最大值為7．

Answer 1

分析 求得圓心和半徑，由A到B的距離的最大值為A到圓心C的距離最大值加上半徑，利用點到直線的距離公式及函數(shù)的單調(diào)性即可求得A到C距離的最大值．

解答 解：由圓（x-1）²+y²=1，圓心C（1，0），半徑r=1
A到C點的距離丨AC丨=$\sqrt{（5cosθ-1）^{2}+9si{n}^{2}θ}$=$\sqrt{25co{s}^{2}θ-10cosθ+1+9si{n}^{2}θ}$，
=$\sqrt{16co{s}^{2}θ-10cosθ+10}$，
=$\sqrt{16（cosθ-\frac{5}{16}）^{2}+\frac{135}{16}}$，
由-1≤cosθ≤1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)cosθ=-1時，
丨AC丨取最大值，最大值為6，
∴|AB|的最大值丨AC丨_max+r=7，
|AB|的最大值為7，
故答案為：7．

點評 本題考查橢圓的參數(shù)方程，兩點之間的距離公式，二次函數(shù)的最值，考查計算能力，屬于中檔題．