9.如圖1,已知四邊形ABFD為直角梯形,$AB∥DF,∠ADF=\frac{π}{2},△ADE$為等邊三角形,AD=DF=2AF=2,C為DF的質(zhì)點(diǎn),如圖2,將平面AED、BCF分別沿AD、BC折起,使得平面AED⊥平面ABCD,平面BCF⊥平面ABCD,連接EF、DF,設(shè)G為AE上任意一點(diǎn).
(1)證明:DG∥平面BCF;
(2)求折起后的各平面圍成的幾何體的體積.

分析 (1)推導(dǎo)出CD⊥平面AED,CD⊥平面BCF,從而平面AED∥平面BCF,由此能證明DG∥平面BCF.
(2)幾何體由四棱錐F-ABCD和三棱錐F-ADE組成,分別求出體積,相加可得答案.

解答 證明:(1)由題意知BC⊥DC,
∵平面AED⊥平面ABCD,平面AED∩平面ABCD=AD,
又CD⊥AD,∴CD⊥平面AED,
同理,CD⊥平面BCF,
∴平面AED∥平面BCF,
又DC?平面AED,
∴DG∥平面BCF.
(2)幾何體由四棱錐F-ABCD和三棱錐F-ADE組成,
∵FC⊥BC,F(xiàn)C⊥CD,CD∩BC=C,
∴FC⊥平面ABCD,
∴FC為四棱錐F-ABCD的高,
故VF-ABCD=$\frac{1}{3}$×2×1×1=$\frac{2}{3}$;
又∵平面AED∥平面BCF,CF?平面BCF,
∴CF∥平面AED,
∴點(diǎn)F到平面AED的距離等于C到平面AED的距離,
由(1)得CD⊥平面AED,
∴F到平面AED的距離等于CD=1,
故VF-ADE=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$;
故幾何體的體積V=VF-ABCD+VF-ADE=$\frac{2+\sqrt{3}}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明,棱錐的體積運(yùn)算,難度中檔.

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