Question

在實(shí)數(shù)集R中，我們定義的大小關(guān)系“＞”為全體實(shí)數(shù)排了一個(gè)“序”，類似的，我們在平面向量集D={

a

|

a

=（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定義一個(gè)稱為“序”的關(guān)系，記為“?”．定義如下：對于任意兩個(gè)向量

a1

=（x₁，y₁），

a2

=（x₂，y₂），

a1

?

a2

當(dāng)且僅當(dāng)“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”．按上述定義的關(guān)系“?”，給出如下四個(gè)命題：
①若

e1

=（1，0），

e2

=（0，1），

0

=（0，0），則

e1

?

e2

?

0

；
②若

a1

＞

a2

，

a2

＞

a3

，則

a1

＞

a3

；
③若

a1

＞

a2

，則對于任意

a

∈D，（

a1

+

a

）＞（

a2

+

a

）；
④對于任意向量

a

＞

0

，

0

=（0，0）若

a1

＞

a2

，則

a

•

a1

＞

a

•

a2

．
其中真命題的序號為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知條件中，

a1

?

a2

當(dāng)且僅當(dāng)“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”．按上述定義的關(guān)系“?”，判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．

解答： 解：對于任意兩個(gè)向量

a1

=（x₁，y₁），

a2

=（x₂，y₂），

a1

?

a2

當(dāng)且僅當(dāng)“x₁＞x₂”
或“x₁=x₂ 且y₁＞y₂”，
對于①，若

e1

=（1，0），

e2

=（0，1），

0

=（0，0），則

e1

?

e2

，且 

e2

 ?

0

，故①正確．
對于②，設(shè)向量

a1

=（x₁，y₁），

a2

=（x₂，y₂），

a3

=（x₃，y₃），若

a1

?

a2

，

a2

?

a3

，
則有“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”，“x₂＞x₃”或“x₂=x₃且y₂＞y₃”．
故有“x₁＞x₃”或“x₁=x₃且y₁＞y₃”．故有

a1

?

a3

．
對于③，若

a1

?

a2

，則對于任意

a

∈D，設(shè)

a

=（x，y），

a1

=（x₁，y₁），

a2

=（x₂，y₂），
∵“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”，∴“x+x₁＞x+x₂”或“x+x₁=x+x₂且y+y₁＞y+y₂”，
∴（

a1

+

a

）?（

a2

+

a

），故③正確．
對于④，設(shè)設(shè)

a

=（x，y），

a1

=（x₁，y₁），

a2

=（x₂，y₂），
由

a

?

0

，得“x＞0”或“x=0且y＞0”；
由

a1

?

a2

，得“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”；
可得“x=0且y＞0”且“x₁＞x₂且y₁＜y₂”，故有“xx₁=xx₂且yy₁＜yy₂”，
所以

a

•

a1

?

a

•

a2

不成立，所以④不正確，
故答案為：①②③．

點(diǎn)評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了新定義“?”，正確理解新定義“?”的實(shí)質(zhì)，是解答的關(guān)鍵，屬于中檔題．