Question

（本小題滿分13分）

如圖,在直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面的棱柱）中, , , , ,點(diǎn)是的中點(diǎn).

(Ⅰ) 求證:∥平面；

(Ⅱ)求AC₁與平面CC₁B₁B所成的角．

 

Answer 1

【答案】

 (Ⅰ)見(jiàn)解析；(Ⅱ) AC₁與平面CC₁B₁B所成的角為60^O。

【解析】

試題分析：（1）設(shè)CB₁與C₁B的交點(diǎn)為E，連接DE，根據(jù)D是AB的中點(diǎn)，E是BC₁的中點(diǎn)，可知DE∥AC₁，而DE⊂平面CDB₁，AC₁⊄平面CDB₁，根據(jù)線面平行的判定定理可知AC₁∥平面CDB₁；（2）結(jié)合三棱柱的性質(zhì)可知∠AC₁C為AC₁與平面CC₁B₁B所成的角。

證明:   (Ⅰ) 令BC₁與CB₁的交點(diǎn)為E, 連結(jié)DE.

∵  D是AB的中點(diǎn), E為BC₁的中點(diǎn), ∴DE∥AC₁

∵ AC₁平面CDB₁, DE平面CDB₁,

∴AC₁∥平面CDB₁.   ………………6分

(Ⅱ) ∵ 三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱,

    ∴  C₁C⊥平面ABC, ∴C₁C⊥AC,

    ∵  AC=3, BC=4, AB=5,

∴ ,   ∴ ,

∴ AC⊥平面CC₁B₁B,

∴  ∠AC₁C為AC₁與平面CC₁B₁B所成的角

∵，

根據(jù)平面幾何知識(shí)得：∠AC₁C=60^O

∴AC₁與平面CC₁B₁B所成的角為60^O………13分

考點(diǎn)：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及空間兩直線的位置關(guān)系的判定，同時(shí)考查學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力，是基礎(chǔ)題。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是對(duì)于三棱柱性質(zhì)的熟練運(yùn)用和線面平行的判定定理的準(zhǔn)確的運(yùn)用和求解。