Question

如圖，橢圓的離心率為，軸被曲線截得的線段長(zhǎng)等于的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)。

（1）求，的方程；
（2）設(shè)與軸的交點(diǎn)為M，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與相交于點(diǎn)A,B,直線MA,MB分別與相交與D,E.
①證明：；
②記△MAB,△MDE的面積分別是.問(wèn)：是否存在直線,使得=?請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）
（2）①見(jiàn)解析      ②滿足條件的直線存在，且有兩條，其方程分別為和

（1）由題意知，從而，又，解得。
故，的方程分別為。
（2）①由題意知，直線的斜率存在，設(shè)為，則直線的方程為.
由得，
設(shè)，則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是。
又點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以

故，即。
②設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，由解得或，則點(diǎn)的坐標(biāo)為
又直線的斜率為 ，同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為.
于是
由得，
解得或，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；
又直線的斜率為，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)
于是
因此
由題意知，解得 或。
又由點(diǎn)的坐標(biāo)可知，，所以
故滿足條件的直線存在，且有兩條，其方程分別為和。