Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足an=3n﹣2，f（n）= + +…+ ，g（n）=f（n2）﹣f（n﹣1），n∈N* ．
（1）求證：g（2）＞ ；
（2）求證：當(dāng)n≥3時(shí)，g（n）＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：g（2）=f（4）﹣f（1）

=1+ + + ﹣1= + + = ＞ ；

（2）當(dāng)n≥3時(shí)，g（n）=f（n2）﹣f（n﹣1）

=1+ +…+ ﹣（1+ +…+ ）

= + +…+ ，

運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明．

當(dāng)n=3時(shí)，g（3）= + + +…+ ＞ 成立

（2）

證明：假設(shè)n=k時(shí)，g（k）＞ ，即有 + +…+ ＞ ，

則n=k+1時(shí)，g（k+1）= +…+

= + +…+ + +…+ ﹣

=g（k）+ +…+ ﹣ ，

可得 +…+ ﹣ ＞0，又g（k）＞ ，

即有n=k+1時(shí)，g（k+1）＞ ．

故當(dāng)n≥3時(shí)，g（n）＞ ．

【解析】（1）g（2）=f（4）﹣f（1）=1+ + + ﹣1，即可得證；（2）求出g（n），運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法及不等式的性質(zhì)，即可得證．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用函數(shù)的值和不等式的證明，掌握函數(shù)值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法；不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等即可以解答此題．