Question

關(guān)于函數(shù)f(x)=

2x

1+|x|

（x∈R）的如下結(jié)論：
①f（x）是偶函數(shù)；②函數(shù)f（x）的值域為（-2，2）；
③若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；④函數(shù)y=|f（x-1）|的圖象關(guān)于直線x=1對稱；
其中正確結(jié)論的序號有

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的值域

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由定義域關(guān)于原點對稱且f（-x）=-f（x），可得f（x）是奇函數(shù)，即可判斷①；
利用不等式的性質(zhì)可得，-2＜f（x）＜2，即可判斷②；
根據(jù)奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，可得函數(shù)f（x）在（-∞，0）上也是增函數(shù)，
故當x₁≠x₂時，一定有f（x₁）≠f（x₂），即可判斷③；
首先判斷y=|f（x）|的奇偶性，得到圖象的對稱，再由圖象平移規(guī)律，即可判斷④．

解答： 解：對于①，函數(shù)f(x)=

2x

1+|x|

（x∈R）的定義域為R，
由f（-x）=

-2x

1+|x|

=-f（x），可得f（x）是奇函數(shù)，故①錯；
對于②，由于-|x|≤x≤|x|，∴-

2|x|

1+|x|

≤f（x）≤

2|x|

1+|x|

．
∴-

2|x|+2

|x|+1

＜f（x）＜

2|x|+2

1+|x|

，∴-2＜f（x）＜2，故②正確；
對于③，當x＞0時，f（x）=

2x

1+x

=

2(x+1)-2

x+1

=2-

2

x+1

＞0，
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
再由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，函數(shù)f（x）在（-∞，0）上也是增函數(shù)，
且f（x）＜0，f（0）=0，故當x₁≠x₂時，一定有f（x₁）≠f（x₂），故③正確；
對于④，y=|f（x）|=

2|x|

1+|x|

為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，
y=|f（x-1）|的圖象可由y=|f（x）|的圖象向右平移1個單位得到，
則有函數(shù)|f{x-1）|的圖象關(guān)于直線x=1對稱，故④正確．
故答案為：②③④．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、值域，函數(shù)的對稱性的判斷，屬于基礎(chǔ)題和易錯題．