設(shè)橢圓過點(diǎn)，離心率為

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交與兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足=，證明：點(diǎn)的軌跡與無關(guān)．

解（Ⅰ）由題意解得，所求橢圓方程為 ．…………4分

（Ⅱ）方法一

 設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為．

由題設(shè),則且．

  （1）+（2）×2并結(jié)合（3），（4）得，…………14分

點(diǎn)總在定直線上．即點(diǎn)的軌跡與無關(guān)．…………15分

方法二

設(shè)點(diǎn)，由題設(shè) =．

又 四點(diǎn)共線，可得,…………6分

于是

                             （1）

                             （2）

由于在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程整理得

      （3）

       (4)

…………10分

(4)－(3) 　　　得   ，

，…………14分

點(diǎn)總在定直線上．即點(diǎn)的軌跡與無關(guān)．…………15分

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆四川省高二5月月考考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓過點(diǎn)，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、．點(diǎn)為直線上且不在軸上的任意一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為、和、，為坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)直線、的斜率分別為、．

（i）證明：；

（ii）問直線上是否存在點(diǎn)，使得直線、、、的斜率、、、滿足？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆安徽省毫州市高二上學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

如圖，已知橢圓過點(diǎn).，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、.點(diǎn)為直線上且不在軸上的任意一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為、和、，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）設(shè)直線、的斜線分別為、.      證明：

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：山東省高考真題 題型：解答題

如圖，已知橢圓過點(diǎn)，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2。點(diǎn)P為直線l：x+y=2上且不在x軸上的任意一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2。
（i）證明：；
（ii）問直線l上是否存在點(diǎn)P，使得直線OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD滿足kOA+kOB+kOC+kOD=0？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年浙江省紹興一中高三（下）回頭考試數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)橢圓過點(diǎn)，離心率為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當(dāng)過點(diǎn)P（4，1）的動(dòng)直線l與橢圓C相交與兩不同點(diǎn)A，B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)Q，滿足=λ，證明：點(diǎn)Q的軌跡與λ無關(guān)．

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