已知函數(shù)(其中為常數(shù)).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù)的3個(gè)極值點(diǎn)為,且.證明:.
(Ⅰ)單調(diào)減區(qū)間為,;增區(qū)間為.(Ⅱ)詳見解析.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)將代入,然后求導(dǎo)便可得其單調(diào)區(qū)間.
(Ⅱ)我們分以下幾步來分析.
第一步、對求導(dǎo)得:.顯然是它的一個(gè)極值點(diǎn),下面我們要弄清楚應(yīng)該是還是.另兩個(gè)極值點(diǎn)便是方程的根.對這個(gè)方程,我們不可能直接解,所以接下來就利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù).
第二步、對求導(dǎo)得:
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí),,.又,
所以在上必有一個(gè)極值點(diǎn).
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030804315653719482/SYS201403080432286152371679_DA.files/image022.png">,所以,,
∴的兩個(gè)零點(diǎn)必有一個(gè)小于(實(shí)際上比還。,而另一個(gè)大于1,
∴.
∴當(dāng)時(shí),是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),且.
即有.這樣問題轉(zhuǎn)化為在該條件下證明.那么這個(gè)不等式如何證呢?
第三步、注意到待證不等式中不含,故考慮消去,找到之間的關(guān)系式.
消去有.
令,有零點(diǎn).
∴函數(shù)在上遞減,在上遞增,在處取得極小值.由于,所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030804315653719482/SYS201403080432286152371679_DA.files/image042.png">.
所以要證明,只需證.那么這個(gè)不等式又如何證明呢?
因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增,所以轉(zhuǎn)化為證.
即證.
這個(gè)不等式,通過構(gòu)造函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)就很容易證明了.
試題解析:(Ⅰ)求導(dǎo)得:.
令可得.列表如下:
- |
- |
0 |
+ |
|
減 |
減 |
極小值 |
增 |
單調(diào)減區(qū)間為,;增區(qū)間為. 5分
(Ⅱ)由題,
對于函數(shù),有
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增
∵函數(shù)有3個(gè)極值點(diǎn),
從而,所以,
當(dāng)時(shí),,,
∴ 函數(shù)的遞增區(qū)間有和,遞減區(qū)間有,,,
此時(shí),函數(shù)有3個(gè)極值點(diǎn),且;
∴當(dāng)時(shí),是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn), 9分
即有,消去有
令,有零點(diǎn),且
∴函數(shù)在上遞減,在上遞增
要證明
即證
構(gòu)造函數(shù),,所以
只需要證明單調(diào)遞減即可.而, 在上單調(diào)遞增,
∴當(dāng)時(shí),. 14分
考點(diǎn):1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用;2、不等式的證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分13分)
已知函數(shù),其中為常數(shù),且。
當(dāng)時(shí),求在( )上的值域;
若對任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知函數(shù),其中為常數(shù).那么“”是“為奇函數(shù)”的( )
(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件
(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年安徽“江淮十!眳f(xié)作體高三上學(xué)期第一次聯(lián)考文數(shù)學(xué)卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)(其中為常數(shù)).
(I)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最值;
(Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年上海市高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)卷 題型:解答題
(本題滿分16分,第1小題5分,第2小題6分,第3小題5分)
已知函數(shù),其中為常數(shù),且
(1)若是奇函數(shù),求的取值集合A;
(2)(理)當(dāng)時(shí),設(shè)的反函數(shù)為,且函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于對稱,求的取值集合B;
(文)當(dāng)時(shí),求的反函數(shù);
(3)(理)對于問題(1)(2)中的A、B,當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求的取值范圍。
(文)對于問題(1)中的A,當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求的取值范圍。
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