定義在R上的函數(shù)y=f(x)，f(0)≠0，當x＞0時，f(x)＞1，且對任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)·f(b).

(1)求f(0)；

(2)證明對任意的x∈R，恒有f(x)＞0；

(3)判斷函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性.

思路分析：本題抽象函數(shù)的原型函數(shù)即為指數(shù)函數(shù)，可借助y=2x分析理清解答的思路和方法.(1)利用賦值法求f(0)；(2)只需證明當x＜0時，f(x)＞0；(3)利用定義法判斷單調(diào)性.

(1)解：取a=b=0，則f(0)=f(0)·f(0).

∵f(0)≠0，∴f(0)=1.

(2)證明：當x≥0時，f(x)≥1＞0成立，

當x＜0時，-x＞0，f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1，

∴f(x)=＞0.∴x∈R時，恒有f(x)＞0.

(3)解：設x1＜x2，則x2-x1＞0.

∴f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)·f(x1).

∴=f(x2-x1).

∵x2-x1＞0，∴f(x2-x1)＞1.

又f(x1)＞0，f(x2)＞0，

∴f(x1)＜f(x2).

∴f(x)在R上是增函數(shù).

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

11、定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），當x∈[-1，1]時，f（x）=x3，則f（2009）的值是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

13、定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足：f（x）=f（4-x），且f（x-2）+f（2-x）=0，則f（508）=
0
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足f(3-x)=f(x)，(x-
3
2
)f′(x)＞0(x≠
3
2
)，若x1＜x2，且x1+x2＞3，則有（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列四個命題：
①“a＞b”是“2a＞2b”成立的充要條件；
②“a=b”是“l(fā)ga=lgb”成立的充分不必要條件；
③函數(shù)f（x）=ax2+bx（x∈R）為奇函數(shù)的充要條件是“a=0”
④定義在R上的函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)的必要條件是“
f(-x)f(x)
=1”．
其中真命題的序號是
①③
①③
．（把真命題的序號都填上）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），當x∈[-1，1]時，f（x）=x3，則f（2011）=
-1
-1
．

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