18.已知函數(shù)f(x)=lnx-a2x2+ax(a∈R)在區(qū)間(1,+∞)上是減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-$\frac{1}{2}$]∪[1,+∞).

分析 要使函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上是減函數(shù),我們可以轉(zhuǎn)化為f′(x)≤0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立的問題來求解,然后利用二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間于對稱軸的關(guān)系來解答也可達到目標.

解答 解:∵f(x)=lnx-a2x2+ax(a∈R),
∴f′(x)=$\frac{1}{x}$-2a2x+a=$\frac{-2{a}^{2}{x}^{2}+ax+1}{x}$,
由f(x)在區(qū)間(1,+∞)上是減函數(shù),可得-2a2x2+ax+1≤0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立
①當a=0時,1≤0不合題意,
②當a≠0時,可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4a}<1}\\{-2{a}^{2}+a+1≤0}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{a>\frac{1}{4}或a<0}\\{-2{a}^{2}+a+1≤0}\end{array}\right.$,
解得a≤-$\frac{1}{2}$或a≥1,
故a的取值范圍為(-∞,-$\frac{1}{2}$]∪[1,+∞),
故答案為:(-∞,-$\frac{1}{2}$]∪[1,+∞)

點評 本題以函數(shù)為載體,綜合考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來解決有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性,考查已知函數(shù)的單調(diào)性的條件下怎樣求解參數(shù)的范圍問題,考查分類討論,函數(shù)與方程,等數(shù)學(xué)思想與方法.

練習(xí)冊系列答案
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3.已知極坐標的極點在直角坐標系的原點O處,極軸與x軸的正半軸重合.曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$(φ為參數(shù)),直線l的極坐標方程是ρ(cosθ+2sinθ)=15.若點P、Q分別是曲線C和直線l上的動點,則P、Q兩點之間距離的最小值是( 。
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10.(1-$\frac{1}{x}$)(1+x)5的展開式中項x3的系數(shù)為(  )
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