Question

設(shè)a₁=2，a₂=4，數(shù)列{b_n}滿足：b_n=a_n+1-a_n，b_n+1=2b_n+2，
（1）求證：數(shù)列{b_n+2}是等比數(shù)列（要指出首項(xiàng)與公比），
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（3）數(shù)列{a_n+1}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）把數(shù)列的遞推式b_n+1=2b_n+2變形，得到數(shù)列{b_n+2}是等比數(shù)列；
（2）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出b_n的通項(xiàng)公式，代入b_n=a_n+1-a_n后利用累加法求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）利用分組求和求數(shù)列{a_n+1}的前n項(xiàng)和為T_n．

解答：解：（1）由b_n+1=2b_n+2，得b_n+1+2=2（b_n+2），
∵b₁+2=a₂-a₁+2=4-2+2=4≠0，
∴

bn+1+2

bn+2

=2，
∴數(shù)列{b_n+2}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列；
（2）由列{b_n+2}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，
∴bn+2=4×2n-1=2n+1，
∴bn=2n+1-2．
∴an-an-1=2n-2  (n≥2)．
令n=1，2，3，…，（n-1），疊加得
an-2=(22+23+…+2n)-2(n-1)，
∴an=(2+22+23+…+2n)-2n+2
=

2(2n-1)

2-1

-2n+2=2n+1-2n；
（3）數(shù)列{a_n+1}的前n項(xiàng)和T_n=a₁+a₂+…+a_n
=（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）-2（1+2+3+…+n）
=

4(1-2n)

1-2

-2×

n(n+1)

2

=2ⁿ⁺²-n²-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了數(shù)列的分組求和和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，是中檔題．