Question

【題目】冠狀病毒是目前已知RNA病毒中基因組最大的一個(gè)病毒家族，可引起人和動(dòng)物的呼吸系統(tǒng)、消化系統(tǒng)、神經(jīng)系統(tǒng)等方面的嚴(yán)重疾病.自2019年底開始，一種新型冠狀病毒COVID-19開始肆虐全球.人感染了新型冠狀病毒后初期常見發(fā)熱乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹瀉等癥狀，嚴(yán)重者可致呼吸困難、臟器衰竭甚至死亡.篩查時(shí)可先通過血常規(guī)和肺部CT進(jìn)行初步判斷，若血液中白細(xì)胞、淋巴細(xì)胞有明顯減少或肺部CT有可見明顯磨玻璃影等病毒性肺炎感染癥狀則為疑似病例，可再通過核酸檢測(cè)做最終判斷，現(xiàn)A、B、C、D、E五人均出現(xiàn)了發(fā)熱咳嗽等癥狀，且五人發(fā)病前14天因求學(xué)、出差、旅行、探親等原因均有疫區(qū)旅居史.經(jīng)過初次血液化驗(yàn)已確定其中有且僅有一人罹患新冠肺炎，其余四人只是普通流感，但因化驗(yàn)報(bào)告不慎遺失，現(xiàn)需要再次化驗(yàn)以確定五人中唯一患者的姓名，下面是兩種化驗(yàn)方案：

方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患者為止；

方案乙：混合檢驗(yàn)，先任取三人血樣混合在一起化驗(yàn)，若混合血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性則表明患者在這3人中，然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患者為止；若混合血液化驗(yàn)結(jié)果呈陰性，則在另外2人中任選一人進(jìn)行化驗(yàn).假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果是等可能的，且每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是相互獨(dú)立的.

（1）求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；

（2）求的期望.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）先分析得到所有可能的值為，所有可能的值為，并求，分別取每個(gè)值時(shí)概率，再求；

（2）列出隨機(jī)變量的分布列，求出的期望.

（1）所有可能的值為，所有可能的值為,

，

若乙驗(yàn)兩次時(shí)，有兩種可能：

①先驗(yàn)三只結(jié)果為陽(yáng)性，再?gòu)闹兄饌�(gè)驗(yàn)時(shí)，恰好一次驗(yàn)中概率為：

②先驗(yàn)三只結(jié)果為陰性,再?gòu)钠渌鼉芍恢序?yàn)出陽(yáng)性(無(wú)論第二次試驗(yàn)中有沒有,均可以在第二次結(jié)束)

∴乙只用兩次的概率為.

若乙驗(yàn)三次時(shí)，只有一種可能：

先驗(yàn)三只結(jié)果為陽(yáng)性,再?gòu)闹兄饌�(gè)驗(yàn)時(shí),恰好二次驗(yàn)中概率為在三次驗(yàn)出時(shí)概率為

，

（2），，所以的分布列為

	2	3

∴