Question

20．證明1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＞$\frac{n}{2}$（n∈N^*），假設(shè)n=k時(shí)成立，當(dāng)n=k+1時(shí)，左端增加的項(xiàng)數(shù)是2^k．

Answer 1

分析 首先分析題目證明不等式1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＞$\frac{n}{2}$（n∈N^*），假設(shè)n=k時(shí)成立，求當(dāng)n=k+1時(shí)，左端增加的項(xiàng)數(shù)．故可以分別把n=k+1，n=k代入不等式左邊，使它們相減即可求出項(xiàng)數(shù)．

解答 解：當(dāng)n=k時(shí)不等式為：1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$＞$\frac{k}{2}$（k∈N^*），成立
當(dāng)n=k+1時(shí)不等式左邊為1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$$+\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$，
則左邊增加2^k+1-2^k=2^k項(xiàng)．
故答案為：2^k．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的問(wèn)題，屬于概念性問(wèn)題，計(jì)算量小，屬于基礎(chǔ)題目．