Question

12．已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B分別為橢圓x²+5y²=5的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，且三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足關(guān)系式sinB-sin A=sinC．
（1）求線段AB的長(zhǎng)度；
（2）求頂點(diǎn)C的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)橢圓為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，c，即可求解線段AB的長(zhǎng)度．
（2利用正弦定理轉(zhuǎn)化已知條件為線段方程，利用雙曲線定義求解軌跡方程即可．

解答 解：（1）將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1．
∴a²=5，b²=1，c²=a²-b²=4，
則A（-2，0），B（2，0），|AB|=4．
（2）∵sin B-sin A=sin C，
∴由正弦定理得
|CA|-|CB|=|AB|=2＜|AB|=4，
即動(dòng)點(diǎn)C到兩定點(diǎn)A，B的距離之差為定值．
∴動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是雙曲線的右支，并且c=2，a=1，
∴所求的點(diǎn)C的軌跡方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x＞1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，軌跡方程的求法，雙曲線的定義的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．