Question

（1）用定義法證明函數(shù)f（x）=x+

4

x

在x∈[2，+∞）上是增函數(shù)；
（2）求g(x)=2x+

8

x

在[4，8]上的值域．

Answer 1

分析：（1）可分五步進(jìn)行：①取值；②作差；③變形；④判號(hào)；⑤結(jié)論．
（2）g（x）=2f（x），由（1）知f（x）在[4，8]上單調(diào)遞增，可求其值域，從而可得g（x）的值域．

解答：解：（1）任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（x1+

4

x1

）-（x₂+

4

x2

）=

(x1-x2)(xxx2-4)

x1x2

，
∵2≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，∴x₁x₂-4＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在x∈[2，+∞）上是增函數(shù)．
（2）由（1）知：f（x）在[4，8]上是增函數(shù)．
∴f(x)max=f(8)=

17

2

，f（x）_min=f（4）=5，
∵g（x）=2f（x），
∴g（x）的值域?yàn)閇10，17]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，定義法證明單調(diào)性的一般步驟：①取值；②作差；③變形；④判號(hào)；⑤結(jié)論．本題（2）問注意利用g（x）與f（x）的關(guān)系求解．