已知函數(shù)f（x）=-x3+ax2-4，a∈R．
（I）當a=3時，求f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值和最小值；
（II ）若存在x∈（0，+∞），使得f（x）＞0，求a的取值范圍．
【答案】分析：（1）當a等于3時求出函數(shù)的導數(shù)根據(jù)導數(shù)求出函數(shù)的極值，再求出端點值，比較極值和端點值的大小求得最值
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，討論a的取值范圍，觀察是否滿足存在x∈（0，+∞），使得f（x）＞0，最后得出a的取值范圍，
解答：解：（Ⅰ）當a=3時，f（x）=-x3+3x2-4，f¢（x）=-3x2+6x=-3x（x-2）．
當x變化時，f¢（x）、f（x）在區(qū)間的變化如下表：
x-1（-1，0）（0，1）1
f¢（x）-+
f（x）↘極小值-4↗-2
所以f（x）在區(qū)間上的最大值為f（-1）=0，最小值為f（0）=-4．（5分）
（Ⅱ）f¢（x）=-3x2+2ax=-3x（x-）．
若a≤0，則當x∈（0，+∞）時，f¢（x）＜0，此時f（x）單調遞減，而f（x）＜f（0）=-4，不存在使題設成立的x．
若a＞0，則當x∈（0，）時，f¢（x）＞0，此時f（x）單調遞增；當x∈（，+∞）時，f¢（x）＜0，此時f（x）單調遞減．f（x）在（0，+∞）的最大值為f（）=-4．所以題設的x存在當且僅當
-4＞0，解得a＞3．
綜上，使題設成立的a的取值范圍是（3，+∞）．
點評：該題考查函數(shù)的求導以及函數(shù)單調性的判斷，解答過程中要注意畫圖表，先討論a的取值范圍在看是否滿足題目要求，最后要綜上所述．屬于簡單題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達式；
（2）若關于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調，求實數(shù)m的范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　�。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案