如圖，已知邊長都為1正方形ABCD與正方形ABEF，∠DAF=90°，M，N分別是對角線AC和BF上的點，且AM=FN=a(0＜a＜
2
)．
（1）求證：MN∥平面BCE；
（2）求MN的最小值．
（1）證明：過M作MP⊥AB，垂足為P，連接PN．
∵
AM
MC
=
AP
PB
，又
AM
MC
=
FN
NB

∴
AP
PB
=
FN
NB
[（2分）]
∴PN∥AF
∴平面MPN∥平面CBE[（4分）]
從而MN∥平面BCE[（6分）]
（2）∠MPN=90°MP=
2
2
a，PN=1-
2
2
a[（8分）]
由勾股定理知：MN2=MP2+PN2=a2-
2
a+1=(a-
2
2
)2+
1
2
[（10分）]
當a=
2
2
a時，MN的最小值為
2
2
．[（12分）]
練習冊系列答案
相關習題

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如圖，是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在直線是異面直線的有（　�。⿲Γ�
A．1對B．2對C．3對D．4對

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如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，點E是PD的中點．
（1）求證：PB∥平面ACE；
（2）若四面體E-ACD的體積為
2
3
，求AB的長．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

過兩條異面直線中的一條且平行于另一條的平面有______個．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在矩形ABCD中，已知AB=2AD=4，E為AB的中點，現(xiàn)將△AED沿DE折起，使點A到點P處，滿足PB=PC，設M、H分別為PC、DE的中點．
（1）求證：BM∥平面PDE；
（2）線段BC上是否存在一點N，使BC⊥平面PHN？試證明你的結論；
（3）求△PBC的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別AB，BC，CD，AD的中點，求證：EH∥平面BCD．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知：正方體ABCD-A1B1C1D1，AA1=2，E為棱CC1的中點．
（1）求證：B1D1⊥AE；
（2）求證：AC∥平面B1DE；
（3）（文）求三棱錐A-BDE的體積．
（理）求三棱錐A-B1DE的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，在邊長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是CC1，C1D1，D1D，CD的中點，N是BC的中點，M在四邊形EFGH上及其內部運動，若MN∥平面A1BD，則點M軌跡的長度是______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，ABCD-A1B1C1D1為正方體，下面結論中正確的結論是______．（把你認為正確的結論都填上）
①BD∥平面CB1D1；
②AC1⊥平面CB1D1；
③過點A1與異面直線AD和CB1成90°角的直線有2條．

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