Question

若直線(xiàn)ax+y-b=0（ab＞0），始終平分圓x²+y²+2x-4y=0的周長(zhǎng)，則

1

a

+

4

b

的最小值為（　�。�

• A．

  9

  2

• B．2
• C．

  5

• D．

  5

  2

Answer 1

分析：利用直線(xiàn)ax+y-b=0（ab＞0），始終平分圓x²+y²+2x-4y=0的周長(zhǎng)，可得直線(xiàn)ax+y-b=0經(jīng)過(guò)圓x²+y²+2x-4y=0的圓心（-1，2），再利用基本不等式即可求得

1

a

+

4

b

的最小值．

解答：解：∵直線(xiàn)ax+y-b=0（ab＞0），始終平分圓x²+y²+2x-4y=0的周長(zhǎng)，
∴直線(xiàn)ax+y-b=0經(jīng)過(guò)圓x²+y²+2x-4y=0的圓心（-1，2），
∴a+b=2，
∴

1

a

+

4

b

=

1

2

（

1

a

+

4

b

）（a+b）=

1

2

[5+

b

a

+

4a

b

]
∵ab＞0，∴

b

a

+

4a

b

≥2

b a × 4a b

=4
當(dāng)且僅當(dāng)

b

a

=

4a

b

時(shí)，

b

a

+

4a

b

的最小值為4
∴

1

a

+

4

b

的最小值是

9

2

故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．